دانلود پروژه رشته حسابداری در مورد توزیع پوآسون و نرمال – قسمت دوم

دانلود پایان نامه

همچنین اگر نوزیع فراوانی یك پدیده نرمال ( مانند اندازه‌های رشد و نمو و غیره ) را در یك گروه مطالعه نمائیم، نمودار آن به صورتی متقارن، شبیه منحنی نرمال خواهد بود، زیرا بدیهی است كه در یك جامعه مقادیر متوسط این متغیر ( مثلاً طول قد انسان ) دارای حداكثر فراوانی هستند و فراوانی مقادیر دیگر  ( افراد خیلی قد بلند و خیلی قد كوتاه ) به تناسب فاصله یا انحراف آنها نسبت به مقادیر متوسط، كاهش می‌یابد.

نکته مهم : برای استفاده از متن کامل تحقیق یا مقاله می توانید فایل ارجینال آن را از پایین صفحه دانلود کنید. سایت ما حاوی تعداد بسیار زیادی مقاله و تحقیق دانشگاهی در رشته های مختلف است که می توانید آن ها را به رایگان دانلود کنید

نحوة استفاده از توزیع نرمال در تحقیق عملی و چگونگی كاربرد آن در مباحث آمار و نمونه‌برداری و اندازه‌گیری، به عنوان معیاری برای ارزشیابی و تفسیر نتایج تجربی تا حدودی روشن شده و در فصل‌های بعدی نیز به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرد. بنابراین مقایسه و تطبیق نمودارهای تجربی با توزیع نرمال یكی از قدمهای اولیه در تحیق علمی است. این روش در فصل 11 ( توزیع كای اسكور)[1] شرح داده می‌شود. یكی از ساده‌ترین روش‌ها این است كه مساحت قطعات مختلف سطح زیر منحنی تجربی با مقادیر مشابه در منحنی نرمال مقایسه گردد. برای روشن شدن مطلب توضیح بیشتری داده می شود و مثالی نیز ذكر می گردد و سپس در این ارتباط به بحث پیرامون سطوح متعارف منحنی نرمال پرداخته می شود.

همانگونه كه گفته شد منحنی نرمال استاندارد و جدول مربوط به آن (Z) مورد خاصی از منحنی نرمال است كه در آن و می باشد. از طرفی ارقام و داده های آزمایشی زیادی یافت می گردند كه دارای توزیع نرمال می باشند. برای این گونه داده ها و توزیع ها نیز می توان در هر مورد و با استفاده از فرمول منحنی نرمال جداولی تهیه نمود و سطح زیر منحنی یا احتمال وقوع پیشامدها را با استفاده از آنها مشخص ساخت. ولی در این صورت با بی نهایت جدول روبرو خواهیم بود. برای حل مسائلی نظیر آنچه در مورد منحنی نرمال استاندارد شرح داده شد، ولی در مورد توزیع تجربی (نرمال غیراستاندارد) بهترین روش این است كه ابتدا داده های این توزیع را به توزیع نرمال استاندارد تبدیل نمائیم و سپس با استفاده از جدول Z احتمال وقوع وقایع را محاسبه نمائیم.

توزیع نرمال به صورت تقریبی از توزیع دو جمله ای

اگر تعداد آزمایش، n بزرگ باشد، محاسبه فراوانیها و احتمالها با استفاده از قضیه دو جمله ای خسته كننده می شود. از آنجائی كه بسیاری از مسائل عملی شامل تعداد زیادی از آزمایشهای مكرر است، پیدا كردن یك روش سریعتر برای محاسبه احتمالها حائز اهمیت است. چنین روشی به وسیله توزیع نرمال كه مهمترین توزیع احتمال پیوسته بوده و توزیعی است كه بیشتر نظریه آماری براساس آن پی ریزی شده است، مهیا می گردد.

از شكل 7-1 پیداست كه با زیاد شدن nانتهای مستطیل های هیستوگرام به یك منحنی زنگدیس نزدیك می شوند. این منحنی فراوانی حدی كه با افزایش بیشتر و بیشتر n به دست می آید، منحنی فراوانی نرمال نامیده می شود.

استفاده از احتمال برای اندازه گیری عدم قطعیت و تغییرپذیری به صدها سال قبل می‌رسد. احتمال، كاربردهایی در زمینه های متنوع از قبیل پزشكی، قماربازی، پیش بینی هوا، و قانون دارد.

مفهوم شانس و عدم قطعیت به اندازه تمدن بشری قدمت دارد. مردم همواره با عدم قطعیت، پیش بینی هوا، ذخیره غذایی و سایر عوامل محیطی خود دست به گریبان بوده و همواره سعی داشته اند از این عدم قطعیت و آثار مترتب به آن بكاهند. حتی ایده قماربازی، تاریخی طولانی دارد، حدود 3500 سال قبل از میلاد مسیح، بازی های متكی بر شانس بوده است. این بازیها به وسیله استخوانهایی انجام می شد كه می توان آنها را شكل های اولیه تاس دانست، این وسیله ها در مصر و جاههای دیگر معمول بوده اند. تاس های مكعب شكل كه نهایتاً به صورت تاس های مدرن امروزی تغییر شكل دادند، در معابد مصر در سالهای 2000 قبل از میلاد مسیح به دست آمده اند. می‌دانیم كه قمار با تاس از آن زمانها بسیار رایج بوده است و نقش مهمی در توسعه علم احتمال ایفا كرده است.

امروزه این واقعیت مورد توافق دانشمند است كه نظریه ریاضی احتمال ابتدا به وسیله ریاضی دانان فرانسوی بلز پاسكال (1662-1623) و پیرفرما (142-1601) آغاز شد. این افراد می خواستند احتمال دقیق مساله را در بازی قمار با تاس به دست آورند. مسائلی كه آنها حل كردند حدود 300 سال از مسائل شاخص آن روزگار بود. قبل از این افراد، احتمالات عددی تركیبات مختلف تاس به وسیله گیرولامبو كاردانو (1576-1501) و گالیلوگالیله (1642-1564) محاسبه شده است.

از قرن هفدهم به بعد نظریه احتمال به طور پیوسته توسعه یافت و در زمینه های گوناگون به كار رفت. امروزه نظریه احتمال ابزار مهمی در زمینه هایی از قبیل مهندسی، پزشكی و مدیریت است. پژوهشگران بسیاری بطور فعال درگیر دستیابی به كاربردهای جدید احتمال در زمینه هایی مانند پزشكی، تحولات هواشناسی، عسكبرداری ماهواره‌ای، تجارت، پیش بینی زلزله، رفتار انسانی، طراحی سیستم كامپیوترها، اقتصاد و حقوق هستند. در بسیاری از مراحل قانونی پیگیری مسائلی از قبیل تخلفات یا تبعیض شغلی، هر دو طرف محاسباتی مبتنی بر آمار و احتمال برای حمایت از موضوع خود ارائه می كنند.

تجربه ای كه غالباً تعداد موفقیت را در زمان یا ناحیه مشخص شده ای ارائه می‌دهد بنام «تجربه پواسان» نامیده می شود. فاصله زمانی داده شده می تواند هر طول زمانی نظیر دقیقه، روز، ماه یا حتی سال باشد. ازاینرو تجربه پواسان ممكن است ملاحظاتی را برای متغیر تصادفی X تولید نماید كه نمایشگر تعداد تلفن هایی باشد كه به یك فرد در ساعت می شود، تعداد روزهایی كه مدارس بواسطه برف در زمستان تعطیل می شوند، یا تعداد مسابقات بیس بالی كه بواسطه باران بتعویق می افتد و یا نظایر آن. ناحیه مشخص شده ممكن است فاصله خطی، مساحت، حجم یا حتی قطعه ای از فلز باشد. در اینحالت X ممكن است تعداد موشهای صحرایی در هر هكتار. تعداد باكتری در یك كشت میكربی یا تعداد غلط های تایپی در هر صفحه باشد.

یك تجربه پواسان، تجربه ایست كه دارای خواص زیر باشد:

1- میانگین تعداد موفقیت یعنی كه در یك زمان یا مكان مشخص شده اتفاق می‌افتد دانسته شده است.

2- احتمال اینكه یك موفقیت تنها در فاصله كوتاه زمانی یا ناحیه كوچكی اتفاق بیفتد متناسب با طول زمانی یا اندازه ناحیه داده شده است و بستگی به تعداد موفقیت در خارج از این فاصله زمانی و مكانی ندارد.

3- احتمال اینكه بیش از یك موفقیت در چنین فاصله كوتاه زمانی با این ناحیه كوچك مكانی اتفاق بیفتد قابل اغماض است.

تعریف: تعدادموفقیت X در تجربه پواسان| متغیر تصادفی پواسان نامیده می شود.

توزیع احتمال متغیر پواسان بنام «توزیع پواسان» نامیده می شود و با نمایش داده می شود، زیرا مقادیر آن بستگی به یعنی حد متوسط تعداد موفقیتی كه در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده قرار می گیرد دارد. روش بدست آوردن فرمول برای براساس خواص لیست شده جهت تجربه پواسان بصورت فوق. خارج از محدوده این كتاب است. ما نتایج را بصورت تعریف زیر لیست می‌كنیم.

توزیع پواسان: توزیع احتمال متغیر تصادفی پواسان یعنی X، كه آن نمایشگر تعداد موفقیت اتفاقی در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده است بصورت زیر می‌باشد.

           x=0,1,2,…

كه در آن میانگین تعداد موفقیت اتفاقی در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده است و… e=2.71828 است.

منحنی نرمال

مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار «توزیع نرمال» است. نمودار آن بنام «منحنی نرمال» نامیده شده و همشكل زنگ است مانند منحنی شكل 6-1، كه نمایشگر وقوع اتفاقات زیادی در طبیعت از جمله صنعت و تحقیقات است. درسال 1733 شخصی بنام DeMoivre فرمول ریاضی منحنی نرمال را بدست آورد. ظهور این مطلب میدان وسیعی را برای آمار استقرایی باز نمود. توزیع نرمال غالباً بنام «توزیع گوسین» با افتخار گوس (1855-1777) نامیده می شود كه او هم معادله آنرا از روی مطالعه خطای حاصل از اندازه گیری مكرر كیفیت یك كمیت بدست آورد.

معادله ریاضیتوزیع احتمال متغیر نرمال پیوسته، بستگی بدو پارامتر و دارد كه بترتیب حد متوسط و انحراف معیار آن هستند. از اینرو تابع چگالیX را با نشان می دهند.

منحنی نرمال: اگر X یك متغیر تصادفی نرمال با حد متوسط و پراش باشد. در آنصورت معادله منحنی نرمال بصورت زیر خواهد بود.

كه در آن

e=2.71828… و است.

وقتیكه مقادیر و مشخص شده باشند، منحنی نرمال دقیقاً مشخص شده است. بعنوان مثال، اگر =50 و =5 باشد، در آنصورت مختصات n(x;50,5).

بخاطر داریم كه سطح زیر منحنی احتمال باید برابر 1 گردد و در نتیجه اگر مجموعه ملاحظات دارای وسعت تغییرات بیشتری باشند منحنی مربوطه گسترده تر ولیكن كوتاهتر خواهد بود.

1- «نما» كه عبارت از نقطه ای است كه منحنی در آن نقطه ماكزیمم است، در نقطه اتفاق می افتد.

2- منحنی نسبت به خط عمودی متقارن است.

3- در دو طرف حد متوسط منحنی به مجانب خود یعنی محور Xها نزدیك می‌گردد.

4- سطح محصور بین منحنی ومحور طولها برابر 1 است.

بسیاری از متغیرهای تصادفی دارای توزیع احتمالی هستند كه بطور شایسته ای با توزیع نرمال قابل توجیه اند، مشروط بر آنكه و آنها مشخص شده باشند. در این فصل ما فرض خواهیم نمود كه این دو پارامتر دانسته شده است، زیرا كه ممكن است از اطلاعات قبلی بوده باشد. بعداً، در فصل 7 روشهائی را خواهیم آموخت كه با استفاده از مفروضات تجربیات انجام شده مقادیر و را تخمین بزنیم.

سطح زیر منحنی نرمال

می دانیم كه منحنی توزیع احتمال یا تابع چگالی هر متغیر تصادفی طوری بنا نهاده شده است كه سطح زیر منحنی در فاصله x=x1 و x=x2 برابر احتمال آن باشد كه مقدار متغیر تصادفی X بین x=x1 و x=x2 قرار گیرد.

واضح است كه ساختن جدولی برای ارائه سطح زیر منحنی نرمال جهت هر مقدار و كاری فوق العاده دشوار و در عین حال بیهوده ای است. مع الوصف اگر بخواهیم از محاسبه انتگرال فوق العاده مشكلی نیز بپرهیزیم باید از جدول استفاده نماییم. خوشبختانه با یك تغییر متغیر می توانیم هر توزیع نرمالی را به توزیع «نرمال استانداردی» كه دارای حد متوسط صفر و پراش1 است تبدیل نمائیم. این تغییر متغیر بصورت زیر است:

حد متوسط Z برابر صفر است، زیرا

و پراش آن برابر است با

تعریف: توزیع متغیر تصادفی نرمال، كه دارای حد متوسط صفر و انحراف معیار 1 باشد بنام توزیع نرمال استاندارد است.

وقتیكه X بین مقادیر x=x1 و x=x2 است متغیر تصادفی Z بین مقادیر مربوطه و قرار خواهد گرفت. چونكه تمام مقادیر X كه بین x1 و x2 قرار می گیرند، دارای مقدار معادلی از z هستند كه بین z1 و z2 واقع خواهند شد. سطح زیر منحنی X بین x=x1 و x=x2 مطابق شكل 6-7 برابر سطح زیر منحنی Z بین z=z1 و z=z2 خواهد بود. از اینرو داریم.

حال ما تعداد جدولهای بیشمار مذكور در فوق را به یك جدول تنزل می دهیم كه همانا جدول توزیع نرمال استاندارد است. جدول A.4 سطح زیر منحنی نرمال استاندارد مربوط به Pr(Z<z) را برای مقادیر z از 4/3-4/3 ارائه می دهد. برای نشان دادن استفاده از این جدول، فرض كنید كه می خواهیم احتمال Z كوچكتر از 74/1 را بدست آوریم. ابتدا در ستون چپ مقدار 7/1 را بدست آورده و سپس بر روی همان سطر آنقدر بجلو می رویم تا به ستون 4% برسیم، عدد مربوطه در این مكان 9591/0 خواهد بود.

مثال 6-1: برای توزیع نرمال داده شده ای با و احتمال اتفاق X بین مقادیر 45 تا 62 را بدست آورید.

حل: مقادیر مربوط به x1=45 و x2=62 را بدست می آوریم.

توزیع پواسون

در آزمایشهای بسیاری، زمانهای وقوع ورودیهای تصادفی مورد توجه می باشد. مثالهایی از این دست عبارتند از ورود مشتریها برای سرویس، ورود تلفنها به یك مركز تلفن، وقوع طوفان و سایر وقایع طبیعی و غیره. خانواده توزیعهای پواسون برای مدلبندی تعداد چنین ورودیهایی در یك دوره زمانی ثابت، مفید است. توزیع پواسون در تقریب توزیعهای دو جمله ای با احتمال پیروزی بسیار كم، نیزمفید است.

تعریف و ویژگیهای توزیع پواسون

تابع احتمال. فرض كنید X متغیری تصادفی با توزیع گسسته و مقادیر صحیح نامنفی باشد. می گوییم X دارای توزیع پواسون با میانگین است اگر p.f. متغیر X به صورت زیر باشد:

واضح است كه به ازاء هر x، . برای اینكه تحقیق كنیم تعریف شده در برابری (5-4-1) در شرایط p.f. صدق می كند یا خیر، باید ثابت كنیم كه از حسابان مقدماتی می دانیم كه به ازاء هر ،

بنابراین

میانگین و واریانس: گفتیم كه توزیعی كه p.f. آن به صورت برابری (5-4-1) باشد توزیع پواسون با میانگین نامیده می شود. برای توجیه این مطلب باید ثابت كنیم كه در واقع میانگین این توزیع است. میانگین این توزیع یعنی E(X) با سری نامتناهی زیر حساب می شود:

چون جمله متناظر با x=0 در این سری برابر 0 است، می توانیم این جمله را حذف و جمع بندی را از x=1 شروع كنیم. بنابراین:

اگر قرار دهیم y=x-1 آنگاه

بنابراین (5-4-3) مجموع این سری برابر 1 است، پس .

واریانس توزیع پواسون را می توان با روشی مشابه با روشی كه در بالا بیان شد حساب كرد. در ابتدا به محاسبه امید زیر می پردازیم:

با قرار دادن y=x-2 خواهیم داشت:

چون ، از (5-4-4) نتیجه می شود كه . بنابراین:

بنابراین در توزیع پواسون با p.f. ارائه شده در برابری (5-4-1) ثابت كردیم كه میانگین و واریانس هر دو برابر هستند.

برای دیدن قسمت های دیگر این تحقیق لطفا” از منوی جستجوی سایت که در قسمت بالا قرار دارد استفاده کنید. یا از منوی سایت، فایل های دسته بندی رشته مورد نظر خود را ببینید.

با فرمت ورد

Leave a comment