دانلود پروژه رشته حسابداری در مورد توزیع پوآسون و نرمال – قسمت سوم

دانلود پایان نامه

تابع مولد گشتاورها: حال ، توزیع پواسون را كه p.f. آن مطابقبرابری (5-4-1) است حساب می كنیم. به ازاء هرمقدار

از برابری (5-4-2) نتیجه می شود كه برای .

میانگین و واریانس و همچنین سایر گشتاورهای توزیع پواسون را می توان به كمك m.g.f داده شده در برابری (5-4-6) حساب كرد. در اینجا به محاسبه گشتاورهای دیگر توزیع پواسون نخواهیم پرداخت، اما از m.g.f توزیع پواسون برای اثبات ویژگی زیر درباره این توزیع استفاده می كنیم.

نکته مهم : برای استفاده از متن کامل تحقیق یا مقاله می توانید فایل ارجینال آن را از پایین صفحه دانلود کنید. سایت ما حاوی تعداد بسیار زیادی مقاله و تحقیق دانشگاهی در رشته های مختلف است که می توانید آن ها را به رایگان دانلود کنید

تقریب پواسون برای توزیع دو جمله ای

حال ثابت می كنیم كه اگر در توزیع دو جمله ای n بزرگ و p نزدیك به صفر باشد، آنگاه می توانیم از تقریب پواسون با میانگین np برای این توزیع دو جمله ای استفاده كنیم. فرض كنید متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p باشد، و به ازاء هر x P(X=x)=f(x|n,p) در این صورت بنابر برابری (5. 2. 3) برای ,n … و 2 و 1 = x داریم:

اگر قرار دهیم آنگاه را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

(5-4-7)

حال اگر و به قسمتی كه همواره مقدار حاصلضرب np مساوی مقدار ثابت باقی بماند، آنگاه بنابر آنكه و مقدار ثابتی هستند داریم:

 

به علاوه از حسابان مقدماتی می دانیم كه :

(5-4-8)                                                             

حال از برابری (5-4-7) نتیجه می شود كه به ازاء هر عدد صحیح و مثبت x

(5-4-9)                                                             

و سرانجام برای

از برابری (5-4-8) نتیجه می شود كه رابطة (5-4-9) برای نیز برقرار است.

پس رابطة (5-4-9) به ازاء هر عدد صحیح و نامنفی x برقرار است.

عبارت سمت راست ارتباط (5-4-9) p.f. ، توزیع پواسون با میانگین است. بنابراین اگر n بزرگ و p نزدیك صفر باشد،‌مقدار از توزیع دو جمله ای را می توان برای با از توزیع پواسون با میانگین تقریب زد.

تابع چگالی پواسن

تابع چگالی پواسن ارتباط نزدیكی با تابع چگالی دو جمله ای دارد. به عبارت دیگر توزیع پواسن حالتی از توزیع دو جمله ای است كه در آن n خیلی بزرگ و p خیلی كوچك باشد و :

به علاوه اگر k یعنی تعداد موفقیت های مورد نظر، بسیار كوچكتر از n باشد، فرمول توزیع دو جمله ای بصورت زیر به سمت توزیع پواسن میل می كند:

و با توجه به اینكه می توان نوشت:

و ارتباط ای كه برای p(k) بدست آوردیم، می شود.

ارتباط 4-2 تابع چگالی توزیع پواسن می باشد، كه در آن متوسط تعداد موفقیت در یك فاصله و p(k) احتمال وقوع k موفقیت در آن فاصله می باشد. ارتباط 4-2 نشان می دهد كه تابع چگالی متغیر تصادفی پواسن ، با پارامتر كاملا مشخص می گردد.

با توجه به تقریب های بكار برده شده ، برای بدست آوردن 4-2 شاید به درستی آن تردید داشته باشیم. برای رفع این تردید به مثال زیر توجه نمائید.

فرض كنید متغیر تصادفی مقادیر 0 و 1 و 2 و 3 و … را با احتمال های زیر انتخاب می كند:

كه در آن مقداری است ثابت. تابع بخش متغیر تصادفی بصورت یك پلكان بوده كه تعداد بینهایت پله دارد و در هر نقطه به طول عدد درست و نامنفی n ، یك جهش دارد. اندازة این جهش در نقطة‌ برابر است با و برای داریم .

متغیر تصادفی تابع بخشی بصورت زیر داشته باشد، گوئیم بصورت نرمال یا گوسی بخش شده است:

كه در آن و بوده و a و و C مقادیر ثابتی هستند. ارتباط موجود میان را بعداً تعیین كرده و مفهومهای a و را بیان خواهیم نمود. توابعی كه به صورت نرمال بخش شده اند در نظریة‌احتمال و كاربردهای آن نقش بسیار مهمی دارند.

قضیة 7-1 در توزیع دو جمله ای برای N نمونه هر كدام مركب از n آزمایش كه در آنها احتمال موفقیت در یك آزمایش p باشد، اگر مقدار n زیاد شود، هیستوگرام به یك منحنی نزدیك می شود كه منحنی نرمال نامیده می شود و دارای معادله زیر است:

(7-1)                                             

كه در آن :

=m میانگین توزیع دو جمله ای = np

انحراف معیار توزیع دو جمله ای =

=e پایه لگاریتم طبیعی = تقریباً 71828/2

= تقریباً 14159/3

=Y فراوانی وقوع هر مقدار x :

اثبات این قضیه به علت احتیاج به دانستن روشهای ریاضی كه از حدود این درس خارج است، حذف می شود.

در شكل 7-2 هیستوگرام شكل 6-1 با منحنی نرمال مربوط به آن نشان داده شده است. با وجود بزرگ نبودن عدد 9n= توافق (منحنی نرمال با هیستوگرام) قابل توجه است.

اگر فراوانی نسبی (یا احتمال) وقوع یك مقدار x را با p نشان دهیم، P=Y/N است و (7-1) می تواند به صورت زیر نوشته شود.

(7-2)                                   

همچنین برای اندازه گیری انحرافات x-m بر حسب یك متغیر جدید را معرفی می نمائیم.

كه اندازه انحراف را بر حسب انحراف معیار یا واحدهای استاندارد شده نشان می دهد.

عبارت داده شده بوسیله (7-4) را معمولا انحراف نرمال نیز می نامند. با بكار بردن (7-4) می توانیم (7-3) را به صورت زیر بنویسیم.

(7-5)                                                       

كه منحنی احتمال نرمال استاندارد شده نامیده می شود.

از (7-2) و معادل آن (7-5) معلوم می شود كه y و p موقعی كه Z=0 یعنی x=m باشد، به حداكثر مقدار خود می رسند. همچنین از معادله (7-5) روشن است كه به علت مجذور بودن z جانشین كردن z با –z در معادله (7-5) همان مقدار y را نتیجه می دهد. این امر نشان می دهد كه منحنی مربوط به معادله (7-5) در دو طرف خط z=0 كه عمود بر محور افقی رسم می شود، قرینه است. بعلاوه مشاهده می شود كه با بیشتر و بیشتر شدن x مقدار y كوچكتر و كوچكتر می گردد، بدون اینكه هرگز برابر صفر شود. این بدین معنی است كه منحنی به محور افقی نزدیك می شود اما هرگز به آن نمی رسد. مقادیر y مربوط به مقادیر داده شده z ضمیمه در جدول Ia درج شده است. در شكل 7-3 منحنی احتمال نرمال برای 5/1 = مربوط به منحنی نرمال شكل 7-2 نشان داده شده است. در این حالت، مقادیر p به آسانی از تقسیم مقادیر Y به دست آمده از جدول Ia بر 5/1 = به دست می آید . بنابراین ، مقدار p متناظر با z=1 به طریق زیر پیدا می شود:

 از آنجایی كه منحنی فراوانی نرمال همیشه متقارن است، در حالیكه هیستوگرام دو جمله ای فقط موقعی كه باشد، قرینه است، بنابراین، معلوم می شود كه منحنی نرمال در حالیكه p و q برابر با تقریباً مساوی باشند، تقریبی از منحنی دو جمله ای است. هر چه تفاوت p و q از بیشتر باشد، از خوبی این تقریب كاسته می شود. در واقع ،‌اگر p ( یا q ) كوچك باشند، حتی اگر n بزرگ باشد، تقریب نرمال نباید به كار برده شود. معمولاً پیشنهاد می شود كه اگر p آنقدر كوچك باشد كه np كمتر از 5 گردد (یا اگر q آنقدر كوچك باشد كه nq كمتر از 5 شود.) معمولا نبایستی توزیع نرمال به عنوان تقریبی از توزیع دو جمله ای به كار برده شود. خوشبختانه در این حالت توزیع دیگر یعنی توزیع پواسن به عنوان تقریب خیلی خوبی از توزیع دوجمله ای مورد استفاده قرار می گیرد. فرض كنیم كه منحنی نرمال بتواند به عنوان تقریبی از یك توزیع دو جمله ای به كار رود و ما بخواهیم منحنی احتمالی نرمال را جهت پیدا كردن احتمال اینكه متغیر x بین دو مقدار صحیح A و B (A,B هر دو، داخل دامنة تغییرات x هستند و B بزرگتر از A است) قرار گیرد، به كار ببریم.

از فصل 6 به خاطر داریم كه مجموع مساحت مستطیل هائی كه مراكز آنها در B,…A+1,X=A باشد، اندازه ای از فراوانی مورد انتظار را نشان می دهند كه در آن x مابین B و A قرار گیرد. بنابراین، مساحت زیر هیستوگرام دو جمله ای از تا یا از آنجایی كه منحنی فراوانی نرمال به عنوان تقریبی از توزیع دو جمله ای فرض می شود، مساحت ما بین همان دو مقدار x را زیر منحنی فراوانی نرمال لازم داریم. به هر حال، چون به مقدار احتمال (نه مقدار فراوانی) علاقمند هستیم،‌لازم است نتیجه را به N تقسیم كنیم یا معادل آن، باید مساحت زیر منحنی را با فراوانی هائی كه قبلاً به N تقسیم شده اند، پیدا كنیم یعنی مساحت زیر منحنی احتمالی نرمال مطابق آنچه در (7-5) داده شده است. سطوح زیر این منحنی بر حسب z در جدول ضمیمه I داده شده است كه در آن ستون اول مقدار z و ستون دوم مساحت ما بین خط تقارن منحنی نرمال (یعنی جائیكه است) و مقدار معین z را نشان می دهد از آنجائیكه این مساحت ها جدول بندی شده اند، احتمالها را می توان مستقیماً بدون استفاده از فرمول منحنی های فراوانی (یا احتمالی ) نرمال معین كرد. طرز عمل در مثال 7-1 نشان داده می شود. البته باید دقت شود كه جمع مساحت زیر منحنی احتمالی نرمال كه نشان دهندة احتمال آن است كه x درهر جائی قرار گیرد، برابر با یك است.

برای دیدن قسمت های دیگر این تحقیق لطفا” از منوی جستجوی سایت که در قسمت بالا قرار دارد استفاده کنید. یا از منوی سایت، فایل های دسته بندی رشته مورد نظر خود را ببینید.

با فرمت ورد

Leave a comment