سایت دانلود

یک سایت دیگر با وردپرس فارسی
ریاضی

پروژه رشته ریاضی در مورد رگرسیون خطی ساده و همبستگی – قسمت اول

مقدمه
رگرسیون شاخه ای از علم آمار است که استفاده از آن به نحو وسیعی در اکثر زمینه های علمی معمول شده است. در اقتصاد رگرسیون برای اندازه گیری و یا تخمین روابط بین متغیرهای اقتصادی مورد استفاده قرار می گیرد. برای مثال تئوری اقتصاد عنوان می کند که میزان تقاضا بستگی به قیمت، درآمد، و چند عامل دیگر دارد، عرضه نیروی کار در ارتباط با میزان مزد پرداختی است و مصرف شخصی تابعی است از درآمد قابل تصرف. از آنجا که این روابط فقط فرضیه هایی را در خصوص کردارهای اقتصادی بیان می کنند، اقتصاددانان ، داده های آماری، یعنی مشاهدات دنیای واقعی را به کار می گیرند تا صحت و سقم تئوری های اقتصادی را آزمون کنند. لازم است یادآور شویم اقتصاد سنجی مطالعه سیستماتیک روشهایی است که به تخمین و استنتاج تجربی روابط اقتصادی می پردازد و در این ارتباط مهمترین و اساسی ترین ابزاری که برای مطالعه ارتباط بین متغیرها مورد استفاده قرار می گیرد رگرسیون است. معمولاً در کاربردهای اقتصادی لازم است ارتباط یک متغیر را در ارتباط با چند متغیر مورد بررسی قرار دهیم و آن را برآورد کنیم. این امر مستلزم به کارگیری رگرسیون چند متغیره است. لیکن در اینجا ما به تخمین ارتباط بین دو متغیر یعنی به کارگیری رگرسیون ساده ( دومتغیره) اکتفا میکنیم و رگرسیون چند متغیره را به فرصتی دیگر موکول می نمائیم.

نکته مهم : برای استفاده از متن کامل تحقیق یا مقاله می توانید فایل ارجینال آن را از پایین صفحه   کنید. سایت ما حاوی تعداد بسیار زیادی مقاله و تحقیق دانشگاهی در رشته های مختلف است که می توانید آن ها را به رایگان   کنید

تابع خطی ساده
برآورد ارتباط بین دو متغیر امکان پذیر نخواهد بود مگر آنکه ابتدا فرض کنیم ارتباط بین دو متغیر دارای فرم ریاضی خاصی است. یکی از معمول ترین این فرم ها تابع خطی ساده است. یک چنین توابعی در اقتصاد از اهمیت بسیاری برخوردارند زیرا کارکردن با آنها نسبتاً آسان است و اغلب می توانند به عنوان تقریبی از توابع غیر خطی نیز بکار روند. فرم ریاضی یک تابع خطی ساده به گونه زیر است:

که در آن و مقادیر ثابت هستند. ضریب که عرض از مبدأ نامیده می شود مقدار به ازاء مساوی صفر را نشان می دهد. ضریب که نمایانگر شیب خط است میزان تغییرات را به ازاء یک واحد تغییر در x مشخص می کند. در شکل 1.11 یک تابع خطی ساده(درجه یک) که بصورت خطی مستقیم ترسیم شده است.
در این تابع Y متغیر وابسته و X متغیر مستقل نامیده می شود. بعنوان یک مثال تصور کنید که و است. در این صورت خواهیم داشت؛ . اگر x به اندازه یک واحد تغییر کند Y به اندازه 3 واحد تغییر خواهد کرد. هنگامی که مثبت است خط صعودی است و چنانچه منفی باشد خط نزولی خواهد بود. در صورتی که برابر صفر باشد خط موازی محور x ها است.
توجه داشته باشید که کلیه مقادیر که در تابع فوق صدق می کنند همگی بر روی یک خط راست قرار دارند.
برآورد تابع خطی ساده
فرض کنید می خواهیم ارتباط بین دو متغیر اقتصادی، مثلاً ارتباط جمعیت (X) و فروش (Y) یک کالا را بررسی کنیم. برای این منظور تعداد ده مشاهده در اختیار داریم که در جدول صفحه بعد آمده است.

منطقه Y
تعداد کالای فروش رفته X
جمعیت به هزار نفر
1 54 36
2 30 26
3 28 12
4 48 40
5 36 24
6 30 18
7 38 30
8 46 30
9 16 14
10 42 34

برای نشان دادن ارتباط بین x و Y می توان ابتدا نقاط را به صورتی که در شکل 11.2 نشان داده شده است بر روی نمودار پراکنش مشخص کرد.
آنچه مسلم است ارتباط ای دقیق و ساده بین دو متغیر X و Y دیده نمی شود. به عبارت دیگر نقاط همگی بر روی یک خط راست قرار نمی گیرند. ولی این تمایل به وضوح دیده می شود که با افزایش X متغیر Y نیز افزایش پیدا می کند، بدین معنی که فروش در نقاط پرجمعیت تر بیشتر است. ما می خواهیم این تمایل را به صورت یک تابع خطی ساده

نمایش دهیم . یک راه انجام این امر آن است که به صورت نظری و با کمک چشم خطی را از میان این نقاط به گونه ای عبور دهیم که احساس شود بین نقاط در دو طرف خط توازن برقرار شده است یک چنین خطی در شکل ترسیم شده است.

ملاحظه می شود که در این نمودار و است. تابع خطی برآور شده می تواند اکنون به صورت نوشته شود. معمول است که در ارتباط برآورد شده بجای نماد نوشته شود. در این صورت میزان مشاهده شده را نشان می دهد در صورتی که نمایانگر تخمین است که از تابع خطی برآورد شده حاصل شده است.

رگرسیون خطی
فرض کنید بخواهیم بررسی کنیم که آیا ارتباطی بین نمره ریاضی و نمره فیزیک هر دانشجو وجود دارد یا خیر؟ اگر چنین ارتباط ای وجود داشته باشد در این صورت با استفاده از نمره ریاضی باید بتوانیم نمره فیزیک دانشجو را پیش بینی کنیم. برای این منظور نمره 10 دانشجو را در نظر می گیریم.
16 15 14 13 نمره ریاضی(X)
17و17و16و15 17و16و15 15 14و11 نمره فیزیک (Y)

همانطور که داده های فوق نشان داده می شود سه دانشجو در ریاضی نمره 15 گرفته اند. حال اگر بر حسب نمره ریاضی بخواهیم پیش بینی برای نمره فیزیک یعنی داشته باشیم باید مقدار متوسط مقادیر 15و16و17 را به دست آوریم به عبارتی باید را به دست آوریم. منظور از رگرسیون خطی این است که میانگین به طور خطی با x در ارتباط باشد، یعنی که به آن خط رگرسیون می گویند و و را ضرایب رگرسیون گویند. هدف از حل هر مسئله رگرسیون برآورد پارامترهای مجهول و است که برآورد آنها را با و نمایش می دهیم و سپس با استفاده از آن مقدار برآورد متغیر وابسته y را با بدست می آوریم. معمولاً مقادیر و با هم برابر نیستند و به اندازه با هم اختلاف دارند لذا در معادله زیر صدق می کند. که در آن را مقدار باقیمانده می گویند.
در حالت کلی چون همواره برابر نیست. لذا اختلاف آنها به اندازه مقدار تصادفی است، یعنی:

معادله فوق را که در آن ( مقدار خطا) یک متغیر تصادفی با میانگین صفر و واریانس است را مدل رگرسیون ساده خطی گویند که مقدار مشاهده شده است.
برآورد و با روش کمترین مربعات
برآوردهای کمترین مربعات ضرایب رگرسیون و ، مقادیر مانند و هستند که به ازای آنها کمیت

مینیمم شود. با گرفتن مشتقات جزیی نسبت به و و برابر صفر قرار دادن این مشتقهای جزیی داریم:

با حل دستگاه فوق نتیجه ، حاصل می گردد که
در یک مدل رگرسیون ساده خطی مانند مقادیر و که مجموع مربعات خطاها را مینیمم می کنند عبارتند از:

که در آن و با استفاده از داده های نمونه ای
محاسبه می گردند.

نکته: برای آسان کردن فرمول مربوط به نمادهای زیر را معرفی می کنیم.

در نتیجه به طور معادل می توان نوشت:

اعداد زیر نمراتی هستند که 12 دانشجو در امتحان میان ترم و پایان ترم در یک درس آمار، دریافت کرده اند.
80 87 32 64 82 58 58 93 73 80 49 71 امتحان میان ترم
89 73 51 76 78 48 74 89 77 76 62 83 امتحان پایان ترم
الف) معادله خط رگرسیون را بدست آورید به طوریکه از روی آن، نمره نهایی یک دانشجو را بر مبنای نمره میان ترمش پیش بینی می کنیم.
ب) اگر دانشجویی نمره 84 در میان ترم گرفته باشد. نمره پایان ترمش را پیش بینی کنید.
حل: الف) نمرات میان ترم را x و نمرات پایا ترم را Y رد نظر می گیریم در نتیجه داریم:

در نتیجه بنا به فرمول داریم:

در نتیجه معادله خط رگرسیون به صورت می باشد.
ب) با قرار دادن در معادله خطر رگرسیون داریم:

مثال: داده های زیر میزان ته نشست کلر در یک استخر شنا را در زمان های مختلف، پس از بکار بردن مواد شیمیایی نشان می دهد.
12 10 8 6 4 2 تعداد ساعت ها
9/0 1/1 1/1 4/1 5/1 8/1 ته نشست کلر

الف) معادله خط رگرسیون را بدست آورید تا با استفاده از آن بتوانیم ته نشست کلر را برحسب تعداد ساعت ها پس از بکار بردن مواد شیمیایی پیشگویی کنیم.
ب) با استفاده از معادله خط رگرسیون میزان ته نشست کلر در استخر را 5 ساعت پس از به کار بردن مواد شیمایی برآورد کنید.
ج) خط رگرسیون را رسم کنید.
حل: الف) تعداد ساعت ها را x و ته نشست کلر را y در نظر می گیریم بنا به داده ها و و و و می باشد که با جاگذاری مقادیر فوق در فرمول های و داریم:

بنابراین معادله خط رگرسیون به صورت می باشد.
ب) در معادله رگرسیون به دست آمده در قسمت قبل با قرار دادن برآورد میزان ته
نشست کلر برابر است با:

ج)

جامعه و خط رگرسیون بر اساس نمونه ای از آن جامعه
معمولاً آمار مربوط به( y و x ) که گردآوری شده و مورد تجزبه و تحلیل قرار می گیرد. فقط نمونه ای از کل مشاهدات (یعنی جامعه) است. بدین لحاظ از این به بعد خط رگرسیونی که به صورت زیر نوشته می شود به مفهوم خط رگرسیون محاسبه شده بر اساس نمونه ای تصادفی از جامعه اصلی است.

برای دیدن قسمت های دیگر این تحقیق لطفا” از منوی جستجوی سایت که در قسمت بالا قرار دارد استفاده کنید. یا از منوی سایت، فایل های دسته بندی رشته مورد نظر خود را ببینید.

لینک متن کامل با فرمت ورد

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *